人工智能之数学基础：离散型随机向量

本文重点

在前面的课程中我们学习了随机向量的基本性质，其中随机向量也和随机变量是一样的，随机向量分为离散型随机向量和连续型随机向量，本文我们将学习离散型随机向量，而且只学习二维的离散型随机向量，因为二维地随机向量比较好理解和可视化。

什么是二维离散型随机向量？

如果随机向量 (X, Y) 的每个分量都是离散型随机变量，则称 (X, Y) 是二维离散型随机向量。二维离散型随机向量 (X, Y) 所有可能取的值也是有限个或可列无穷个。

离散型随机变量和离散型随机向量的比较

离散型随机变量X的概率质量函数为：

离散型随机变量X的联合概率质量函数为：

如上所示我们可以看到离散型随机变量和离散型随机向量基本上是一致的，所有的概率相加和都是1，并且每一个概率值≥0。

二维离散型的随机向量的联合概率质量函数

离散型随机变量可以使用表格来表示随机变量和概率之间的关系，而离散型的随机向量的联合概率质量函数也可以使用表格来表示，如下所示：

举例

设有10件产品，其中7件正品，3件次品。现从中任取两次，每次取一件，取后不放回。 令:

X=1：若第一次取到的产品是次品，X=0：若第一次取到的产品是正品，Y=1：若第二次取到的产品是次品，Y=0：若第二次取到的产品是正品。

求二维随机向量(X, Y)的概率分布。

解

(X,Y)所有可能取的值为：(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)

我们先来看P{X=0,Y=0}=P{第一次取正品,第二次取正品},

利用古典概型，得P{X=0,Y=0}=(7*6)/(10*9)=7/15

同理，得

P{X=0,Y=1}=(7*3)/(10*9)=7/30,P{X=1,Y=0}=(3*7)/(10*9)=7/30,P{X=1,Y=1}=(3*2)/(10*9)=1/15.

二维均匀分布

一维地随机变量有均匀分布，那么二维地随机变量也有均匀分布：

D是平面上的有界区域,其面积为d,若二维随机向量 (X, Y ) 在每个点的取值概率相等为：

则称 (X,Y ) 服从 D上的均匀分布。这时,(X,Y)落在 D中某一区域A内的概率P{(X,Y)∈A}与A的面积成正比，而与A的位置和形状无关。

举例：

设 (X, Y) 服从D={(x, y):x²+y²≤4} 均匀分布,计算 P{(X,Y)∈A},他们之间的关系如下图所示：

圆域D面积d=4Π，而区域A是由 x=0, y=0 和 x+y=1三条直线所围成的三角区域，且包含在圆域D之内,面积=0.5，所以，P{(X,Y)∈A}=0.5/4Π=1/8Π

二维离散型随机向量的联合分布函数

设二维离散型随机向量(X,Y)的联合概率分布为

pij， i=1, 2, …, j=1, 2, … .

于是, (X,Y)的联合分布函数为

总的来说二维离散型随机变量的联合分布函数就是在所在区间内的所有概率的相加和，这个和一维离散型随机变量的联合分布函数是一样的。

如图所示我们可以看到，无论是x轴方向还是y轴方向，它都是增长的，只不过此时是二维了，而不是随机向量中地一维了。